Environment Map

Spherical Map

也就是球面映射，把环境光记录在球面上，并且可以将其展开

展开后我们也能发现问题，上下两端的物体会被扭曲，看过时间地图我们就知道，墨卡托投影会将靠两极缩小，靠赤道放大，也就形成了所谓扭曲。

Cube Map

为了解决球面映射的这种扭曲的问题，引入立方体来进行环境光照的纹理映射。从球心到球面的投影向外。

Bump & Displacement Mapping

Bump / Normal Mapping

凹凸贴图，也叫法线贴图。其作用主要为：将每个像素的法线都做一个扰动，高度相对变化，但是不增加三角形面数和改变几何信息。

计算法线贴图（二维）

p 点原本的法线是朝上，即 n(p) = (0, 1)
蓝色曲线为使用法线贴图之后的效果
通过 $dp = c [h(p + 1) - h(p)]$ 计算出两点的高度差 dp 。其中 c 为定义凹凸贴图影响的程度的常数，h 为某点对应高度
因此切线就可以表示为 (1, dp)
切线与法线为垂直关系，所以表示为 n(p) = (-dp, 1)

PS：如何保证法线是 n(p) = (0, 1) ，只需在 TBN 坐标系和世界坐标系之间变换即可

计算法线贴图（三维）

在三维中，有 u ，v 两个方向的变化：

n(p) = (0, 0, 1)
$\tfrac{dp}{du} = c_1[h(u + 1) - h(u)]$
$\tfrac{dp}{dv} = c_2[h(v + 1) - h(v)]$
n = (-dp / du, -dp / dv, 1).normalized()

Displacement Mapping

即位移贴图，其和凹凸贴图最大的不同在于：它是真的改变了顶点的高度来呈现出凹凸的感觉，但是注意其要求三角形顶点之间的间隔要比纹理定义的频率要高

过程纹理

定义空间中任意点的颜色
噪声+映射

环境光遮蔽贴图

计算好的环境光遮蔽贴图
把着色好的结果乘以计算好了的环境光遮蔽纹理
说明纹理不止可以储存颜色，还可以储存各种信息

几何的表示

隐式 Implicit

告诉点满足一些特定关系，比如单位球体：$x^2+y^2+z^2=1$。满足一定的关系，并不给出实际的点。通常表示为：$f(x, y, z) = 0$，只要满足这个关系，就代表点在这个表面上面。

优点：可以很容易判断某个点在几何体内部，外部或者是其上面
缺点：难以通过函数判断几何体的真实形状

显式 Explicit

通过参数映射表示的几何体（ uv 坐标转换为 xyz 坐标），例如：

$f(u, v) = ((2+\cos{u})\cos{v}, (2+\cos{u})\sin{v}, \sin{v})$

只需将一个一个 u, v 对应过去，即可得到几何形体的形状。

优点：容易判断出几何体的真实形状
缺点：难以表示出某个点是否在几何体上

几何的隐式表示方法

公式法

可以看出遇到复杂图形时会非常的不直观

CSG(Constructive Solid Geometry)

即构造立体几何法，通过基本几何的集合运算（交并补）来定义新的几何物体

距离函数

距离函数指空间中任意一个点，到想要表述的这个几何形体上面的任意一个点之间的最小距离。可以为正也可以为负的。

例如在下图中，对于上面这种线性融合，我们最终得到的是左边三分之一黑的，中间三分之一灰的，右边三分之一白的。我们想得到的是左边是黑的，右边是白的，它并不能表述出这种运动信息。

下面表示距离函数的图中，可以看到边界处为0。得到了前两张 SDF 图，现在将其混合一下，可以看到正负会被抵消，最终我们得到的边界正好在这张图的中间位置。

距离函数可以通过水平集（Level Set）得到边界，在不同的位置取相同的值，类似于等高线。

分型

递归方法处理自相似，在渲染时会引起强烈的走样

几何的显式表示方法

点云 Point Cloud

不考虑物体是一个表面，而是其表面上的一堆点
所以就可以表示为一个 x, y, z 的列表
每个点包含了坐标、颜色等一系列信息
应用：激光扫描

多边形网格 Polygon Mesh

保存顶点和多边形（通常拆成三角形和四边形）信息
图形学中的应用最广泛

如何存储多边形信息

使用 .obj 格式文件，将空间中的一堆顶点，法线，纹理坐标分开表示，然后再一块将其组合起来

如下图所示，定义了一个立方体，有八个顶点 v (x, y, z)，六个面的法线 vn （图中有数据冗余），多个纹理坐标 vt ，再使用 f(v/vn/vt) 表示其三个点的关系，如何组成一个三角形

曲线 Curves

贝塞尔曲线 Bézier curve

只要求一定要经过起止点，起止点之间的若干个控制点用于控制曲线弯曲的方向，最终形成一条经过起止点的光滑曲线被成为贝塞尔曲线。

德卡斯特里奥算法 de Casteljau Algorithm

通过德卡斯特里奥算法法来绘制贝塞尔曲线：

引入参数 t 范围 0 - 1
取 $b_0$ 到 $b_1$ ，$b_1$ 到 $b_2$ 上 t 位置的点 $b_0^1$ ，$b_1^1$
将 $b_0^1$ 和 $b_1^1$ 连接
取 $b_0^1$ 和 $b_1^1$ 上 t 位置的点 $b_0^2$
将 t 从 0 到 1 所有的 $b_0^2$ 遍历一份相连即可得到贝塞尔曲线
若有 n 个控制点则将上面步骤进行递归操作直到找到最终位移 $b_0^n$

总结可得公式：(给出 n + 1 个控制点，分别是从 0 到 n )

$b^n(t) = b_0^n(t) = \sum_{j = 0}^{n}b_{j}B_{j}^{n}(t)$

其中伯恩斯坦多项式：

$B_i^n(t) = C_{n}^{i} t^{i} (1 - t)^{n - i}$

贝塞尔曲线的一些性质（n 个控制点的情况）：

$b(0) = b0$ ; $b(1) = b{n - 1}$
$b^{‘}(0) = 3(b1 - b_0)$ ; $b^{‘}(1) = 3(b{n - 1} - b_{n - 2})$
对顶点进行仿射变换，再使用这些控制点得到的贝塞尔曲线和进行仿射变换前是完全相同的，所以如果想对贝塞尔曲线做仿射变换，直接对控制点进行仿射变换之后重新画一条即可
对于投影变换则没有类似的性质
画出来的贝塞尔曲线一定在控制点形成的凸包之内