1 视图变换(Viewing Transformation)

1.1 罗德里格斯旋转公式

绕任意轴$n$旋转$\alpha$度（其中$I$为单位矩阵）

$R(n,\alpha)=cos(\alpha)I+(1-cos(\alpha))nn^T+sin(\alpha) \begin{bmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{bmatrix}$

TODO:后面补3D数学基础时再来推导一遍吧

1.2 什么是视图变换

视图变换是想如何拍一张照片:

找一个好的地方并安排拍照的人(Model Transformation 模型变换)
找一个好的地方并且安放好相机(View Transformation 视图变换)
拍照，将3D画面处理为2D画面(Projection Transformation 投影变换)

1.3 定义相机

相机有三个非常重要的属性:(此处的^代表一个单位向量)

Position $\vec{e}$
Look-at/gaze direction $\hat{g}$
up direction $\hat{t}$ (控制相机选择，固定相机)

如果相机和所有物件一起移动，这个”相片会是一样的”，因此，将相机固定于$(0,0,0)$，向着$-z$方向看

2 Model Transformation

将 $\vec{e}$ 移到原点，可得变换矩阵:

$T_{view}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3 View Transformation

将世界坐标系转换到摄像机坐标系，也就是Rotate $g$ to $-Z$, $t$ to $Y$, ($g \times t$) to $X$

直接变换我们可能想不出，为什么不考虑一下$X$ to ($g \times t$), $Y$ to $t$, $Z$ to $-g$呢，因为旋转矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵，因此我们写出了后者就得到了前者

$R^{-1}_{view}= \begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & x_t & x_{-g} & 0 \\ y_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_t & y_{-g} & 0 \\ z_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_t & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

可得到:

$R_{view} \begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{g}\times\hat{t}} & 0 \\ x_t & y_t & z_t & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

同时我们结合上一节也能得到$M{view}=R{view}T_{view}$

4 Projection transformation

4.1 正交投影 Orthographic

正交投影:

把相机放原点，看向$-Z$，头向着$Y$
扔掉$Z$轴
不管 $x$, $y$ 范围有多大，都把它移到$[-1,1]*[-1,1]$上

通常的做法是：记录一个长方体的 $[l,r][b,t][f,n]$ (x, y, z轴范围)，将其移动到原点，再缩放为$[-1,1]^3$

$M_{ortho}= \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2/(t-b) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2/(n-f) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -(r+l)/2 \\ 0 & 1 & 0 & -(b+t)/2 \\ 0 & 0 & 1 & -(n+r)/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

ps：为什么此处是near - far(n - f)，因为我们的camera是朝着$-Z$方向的，因此数值越小反而越远

4.2 透视投影 Perspective

做透视投影，要先投影再正交变换$M_{persp->ortho}$，将frustum(视椎)挤压为一个长方形

那如何来做这个”压扁”操作呢:

由上图可知，利用相似三角形的性质，可以得出$x’=(n/z)x$ , $y’=(n/z)y$ , 但是$z$的变化是我们仍不知道的，例如:

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} => \begin{bmatrix} nx/z \\ ny/z \\ unknown \\ 1 \end{bmatrix} =>(mult \quad by \quad z) \begin{bmatrix} nx \\ ny \\ still \quad unknown \\ z \end{bmatrix}$

同时又可以通过矩阵叉乘得到未知矩阵的一部分

$M_{persp->ortho}= \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

但是$f$,$n$平面的$z$在被挤压过后是不变的，只是中间的平面会变
由此我们可以得到

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{bmatrix} =n^2 \qquad->\qquad An+B=n^2$

同理代入$f$ , 可以得到一个方程组:

$\left\{ \begin{array}{c} An+B=n^2 \\ Af+B=f^2 \end{array} \right. => \left\{ \begin{array}{c} A=n+f \\ B=-nf \end{array} \right.$

因此我们的矩阵最终写为

$M_{persp->ortho}= \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

5 光栅化处理及视口变换

把东西画在屏幕上的过程就叫作光栅化

5.1 定义视椎体宽高比和垂直可视角度

fov：垂直可视角度
t：在y轴的高度
n：近平面上的z轴的点
r：中心点到右边的距离

宽高比（aspect）= $r/t$

5.2 像素以及屏幕

pixel即picture element，pixel的范围：$(0,0)$ to $(width-1,height-1)$，中心：$(x+0.5,y+0.5)$

屏幕覆盖范围：$(0,0)$ to $(width,height)$

5.3 视口变换

将$x,y$转换：$[-1,1]^2$ to $[0,width] \times [0,height]$

$M_{viewport}= \begin{bmatrix} width/2 & 0 & 0 & width/2 \\ 0 & height/2 & 0 & height/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$