1 2D线性变换(2D Transformation)

1.1 缩放(Scale)

缩放变换是一种沿着坐标轴的变换，定义如下：

$\begin{bmatrix} S_x & 0 \\ 0 & S_y \\ \end{bmatrix} \tag{Scale Matrix}$

即除了$(0,0)^T$保持不变之外，其他所有点都变成$(S_xX,S_yY)^T$

1.2 切变(Shear)

切变是将物体的一边固定住，然后去拉另外一边，也就是

$\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \tag{Shear-x(a) Matrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \\ \end{bmatrix} \tag{Shear-y(a) Matrix}$

1.3 旋转(rotation)

此处的旋转是逆时针旋转，并且其旋转中心是原点，直接给出定义和推导过程

$\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix} \tag{Rotation Matrix}$

推导过程：

1.4 2维绕任意点旋转

例如我们绕旋转的点为$c$

将点$c$作Translate转移到原点
作旋转
使用Translate的逆矩阵将其转移回去

即$T(c) \cdot R(\alpha) \cdot T(-c)$

2 3D线性变换

2.1 3维缩放，切变和旋转

缩放还是和2D一个套路

$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & S_z \end{bmatrix}$

切变也一样

$\begin{bmatrix} 1 & d_y & d_z \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{Shear-x($d_y d_z$) Matrix}$

再来到三维的旋转，有三个矩阵，分别对应绕x轴，y轴和z轴旋转，注意是右手系，绕z轴（x轴转向y轴），绕x轴（y轴转向z轴），绕y轴（z轴转向x轴）

$\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{rotate-z($\theta$)}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \tag{rotate-x($\theta$)}$ $\begin{bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix} \tag{rotate-y($\theta$)}$

由此可知，所有的旋转矩阵都是正交矩阵，即它们的逆矩阵也就是它们的转置矩阵

注意，我们此处的绕y旋转的旋转矩阵为什么是负号在左下角呢，用叉乘的性质就可以解释，比如$x \times y = z$，$y \times z = x$，$z \times x = y$，我们不难看出，像是一个$xyz$的循环，但是我们计算的时候都是先算$x$坐标再算$z$坐标，与叉乘的顺序相反了，所以是反的

3 仿射变换

最后只剩了一个位移，为了使位移的表示统一且方便，我们引入了齐次坐标，例如三维的齐次坐标矩阵为四维：

$\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} T \tag{point}$ $\begin{bmatrix} x & y & z & 0 \end{bmatrix} T \tag{vector}$

对vector的位移是毫无意义的，方向始终不会变

3.1 位移(translation)

对一个三维的点作位移变换：

$\begin{bmatrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x_t \\ 0 & 1 & 0 & y_t \\ 0 & 0 & 1 & z_t \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$

参考文档:https://blog.csdn.net/qq_38065509/article/details/105156501